拓?fù)渑_(tái)球(臺(tái)球幾何：看似簡單實(shí)則復(fù)雜的數(shù)學(xué)世界)

臺(tái)球幾多：看似簡便實(shí)則繁復(fù)的數(shù)學(xué)天下

看似簡便的臺(tái)球活動(dòng)，眼前卻隱蔽著繁復(fù)的數(shù)學(xué)奧妙。本文探究了不同外形臺(tái)球桌上的臺(tái)球活動(dòng)軌跡，從簡便的矩形到繁復(fù)的三角形，先容了數(shù)學(xué)家們?yōu)槠平膺@些謎題所做的積極和取得的歷程。

迪士尼1959年的影戲《唐老鴨數(shù)學(xué)奇幻之旅》中，唐老鴨受教學(xué)員對(duì)臺(tái)球幾多形貌的啟示，充溢活力地?fù)舸蚯驐U，將球送入球桌周圍彈射，最初才擊中目標(biāo)球。唐老鴨問道：“你以為這跟數(shù)學(xué)有關(guān)嗎？”

由于矩形臺(tái)球桌的四周墻呈直角相交，像唐老鴨如此的臺(tái)球軌跡是可以猜測(cè)和了解的，即使在實(shí)踐中很難完成。但是，研討數(shù)學(xué)家仍舊無法回復(fù)其他多邊形(具有平展面的外形)臺(tái)球桌上的基本軌跡成績。即使是最簡便的多邊形——三角形，也仍舊存在著謎團(tuán)。

球?qū)Ψ窨偰軗糁幸粋€(gè)點(diǎn)，使其以相反的朝向前往到起始點(diǎn)，從而創(chuàng)建一個(gè)所謂的周期軌道？沒有人曉得。關(guān)于其他更繁復(fù)的外形，從桌子的任何一點(diǎn)擊球到桌子的任何其他一點(diǎn)對(duì)否約莫，這也是未知的。

只管這些成績仿佛與高中幾多教學(xué)的內(nèi)容嚴(yán)密干系，但試圖處理它們必要天下上最出色的數(shù)學(xué)家引入來自散伙動(dòng)力體系、拓?fù)鋵W(xué)和微分幾多么不同范疇的頭腦。與任何宏大的數(shù)學(xué)成績一樣，處理這些成績的事情創(chuàng)造了新的數(shù)學(xué)，并反過去推進(jìn)了這些其他范疇的知識(shí)提高。但是，只管奉獻(xiàn)了一切積極，以及古代盤算機(jī)帶來的洞察力，這些看似簡便的問題仍舊堅(jiān)強(qiáng)地反抗處理。

以下是一些數(shù)學(xué)家自唐老鴨史詩般糾結(jié)的射門以來對(duì)臺(tái)球的了解。

他們通常假定他們的臺(tái)球是一個(gè)無窮小的無維點(diǎn)，并且它以完善的對(duì)稱性從墻壁上反彈，分開時(shí)與抵達(dá)時(shí)的角度相反，如下所示。

假如沒有摩擦，球會(huì)無窮期地挪動(dòng)，除非它抵達(dá)一個(gè)角落，這會(huì)像球袋一樣中止球。臺(tái)球云云難以用數(shù)學(xué)分析的緣故是，兩個(gè)幾乎相反的球落在角落的兩側(cè)約莫會(huì)有完全不同的軌跡。

分析多邊形臺(tái)球的一個(gè)緊張辦法不是將球想象成從桌邊彈射，而是想象每次球撞到墻上，它都市持續(xù)進(jìn)入一個(gè)翻轉(zhuǎn)邊沿的新抄本桌子，產(chǎn)生鏡像。這個(gè)歷程(見下文)稱為臺(tái)球途徑的掀開，使球可以以直線軌跡持續(xù)。經(jīng)過將想象的桌子折疊回其鄰人上，您可以規(guī)復(fù)球的實(shí)踐軌跡。這種數(shù)學(xué)本事可以證實(shí)一些軌跡，不然很丟臉到。

比如，它可以用來展現(xiàn)為什么簡便的矩形桌子經(jīng)過每個(gè)點(diǎn)具有無量多個(gè)周期軌跡。相似的論證實(shí)用于任何矩形，但為了具體分析，想象一張寬是長兩倍的桌子。

假定您想找到一個(gè)周期軌道，該軌道在長朝向上穿過 n 次桌子，在短朝向上穿過 m 次。由于矩形的每個(gè)鏡像都對(duì)應(yīng)于球從墻上反彈，因此為了使球以相反的朝向前往到其起始點(diǎn)，其軌跡必需在兩個(gè)朝向上都穿過偶數(shù)次。因此，m 和 n 必需是偶數(shù)。安插一個(gè)由相反矩形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)矩形都被視為其鄰人的鏡像。從原始桌子上的一個(gè)點(diǎn)到長朝向上 n 個(gè)桌子，短朝向上 m 個(gè)桌子遠(yuǎn)處的抄本上的相反點(diǎn)繪制一條線段。假如途徑穿過角落，請(qǐng)略微調(diào)停原始點(diǎn)。這里是一個(gè)示例，此中 n = 2 和 m = 6。折疊后，該途徑產(chǎn)生一個(gè)周期軌跡，如綠色矩形所示。

三角形不等式

三角形臺(tái)球沒有矩形的直角幾多那么好，以是它更繁復(fù)。正如您約莫從高中幾多中記取的，有幾種三角形：銳角三角形，一切三個(gè)內(nèi)角都小于 90 度；直角三角形，有一個(gè) 90 度角；鈍角三角形，有一個(gè)角大于 90 度。

外形像銳角和直角三角形的臺(tái)球桌具有周期軌跡。但沒有人曉得鈍角三角形對(duì)否也一樣。

要找到銳角三角形中的周期軌跡，請(qǐng)從每個(gè)極點(diǎn)向相對(duì)側(cè)繪制一條垂直線，如下左側(cè)所示。將直角產(chǎn)生的場(chǎng)合的點(diǎn)毗連起來構(gòu)成一個(gè)三角形，如下右側(cè)所示。

這個(gè)內(nèi)切三角形是一個(gè)周期臺(tái)球軌跡，稱為法格納諾軌道，以喬瓦尼·法格納諾定名，他在 1775 年證實(shí)白這個(gè)三角形具有一切內(nèi)切三角形中最小的周長。

在 1990 年代初，華盛頓大學(xué)的弗雷德·霍爾特和莫斯科國立大學(xué)的格雷戈里·加爾佩林及其互助者獨(dú)立證實(shí)白每個(gè)直角三角形都具有周期軌道。一種簡便的辦法是將三角形繞一條腿反射，然后再繞另一條腿反射，如下所示。

從一個(gè)垂直于斜邊(三角形最長邊)的軌跡開頭。斜邊及其第二次反射是平行的，因此毗連它們的垂直線段對(duì)應(yīng)于一個(gè)往返彈跳的軌跡：球以直角分開斜邊，從兩條腿反彈，以直角前往斜邊，然后前往其路途。

但鈍角三角形仍舊是一個(gè)謎。在他們 1992 年的論文中，加爾佩林及其互助者提出了一種在鈍角三角形中反射的辦法，可以創(chuàng)建周期軌道，但這些辦法只實(shí)用于一些特別情況。然后，在 2008 年，布朗大學(xué)的理查德·施瓦茨證實(shí)白一切角度在 100 度或以下的鈍角三角形都包含一個(gè)周期軌跡。他的辦法是將成績分析成多個(gè)案例，并使用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)和盤算機(jī)幫助驗(yàn)證每個(gè)案例。2018 年，阿爾伯塔大學(xué)的雅各布·加伯、博揚(yáng)·馬里諾夫、肯尼斯·摩爾和喬治·托卡爾斯基將這一閾值擴(kuò)展到 112.3 度。(托卡爾斯基和馬里諾夫花了十多年來追逐這個(gè)目標(biāo)。)

拓?fù)滢D(zhuǎn)機(jī)

另一種辦法已被用來證實(shí)，假如一切角度都是有理數(shù)，即可以表現(xiàn)為分?jǐn)?shù)，那么具有更大角度的鈍角三角形必需具有周期軌跡。該辦法不是簡便地在平面上復(fù)制多邊形，而是將多邊形的抄本映射到拓?fù)渫獗恚匆粋€(gè)或多個(gè)洞的甜甜圈。

假如您將矩形沿其短邊反射，然后將兩個(gè)矩形沿其最長邊反射，制造四個(gè)原始矩形的版本，然后將頂部和底部粘合在一同，將支配粘合在一同，您將取得一個(gè)甜甜圈或圓環(huán)，如下所示。桌子上的臺(tái)球軌跡對(duì)應(yīng)于圓環(huán)上的軌跡，反之亦然。

在 1986 年的一篇具有里程碑意義的文章中，霍華德·馬蘇爾使用這種武藝證實(shí)白一切具有有理角的多邊形桌子都具有周期軌道。他的辦法不僅實(shí)用于鈍角三角形，也實(shí)用于更繁復(fù)的外形：不端正的 100 邊桌子，或墻壁呈鋸齒狀的外形，只需角度是有理數(shù)，就存在周期軌道。

值得注意的是，多邊形中存在一個(gè)周期軌道意味著存在無量多個(gè)周期軌道；略微改動(dòng)軌跡將產(chǎn)生一系列干系的周期軌跡。

照明成績

具有凹角和凸角的外形會(huì)引發(fā)一個(gè)干系成績。與其問那些回到出發(fā)點(diǎn)??的軌跡，這個(gè)成績問的是軌跡對(duì)否可以拜候給定桌子上的每個(gè)點(diǎn)。這被稱為照明成績，由于我們可以將其了解為想象一束激光從包抄臺(tái)球桌的鏡面墻上反射。我們要問的是，關(guān)于特定桌子上的兩個(gè)點(diǎn)，對(duì)否可以一直將激光(抱負(fù)化為無窮細(xì)的光源)從一個(gè)點(diǎn)照射到另一個(gè)點(diǎn)。換句話說，假如我們?cè)谧雷拥哪硞€(gè)點(diǎn)安排一個(gè)燈膽，它會(huì)向各個(gè)朝向照射，它會(huì)照亮整個(gè)房間嗎？

對(duì)這個(gè)成績有兩個(gè)主要的研討朝向：找到無法照明的外形，并證實(shí)多量外形可以被照亮。固然可以經(jīng)過奇妙使用簡便的數(shù)學(xué)來找到無法照明的奇異外形，但證實(shí)很多外形可以被照亮僅有經(jīng)過使用強(qiáng)壯的數(shù)學(xué)東西才成為約莫。

1958 年，厥后取得 2020 年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家羅杰·彭羅斯發(fā)覺了一張曲面桌子，此中一個(gè)地區(qū)的任何點(diǎn)都無法照亮另一個(gè)地區(qū)的任何點(diǎn)。幾十年來，沒有人可以找到具有相反屬性的多邊形。但在 1995 年，托卡爾斯基使用三角形的簡便內(nèi)幕創(chuàng)建了一個(gè) 26 邊的塊狀多邊形，此中兩點(diǎn)互相不成達(dá)，如下所示。也就是說，從一個(gè)點(diǎn)發(fā)射的激光束，無論其朝向怎樣，都無法擊中另一個(gè)點(diǎn)。

托卡爾斯基在構(gòu)建他的特別桌子時(shí)使用的一個(gè)緊張頭腦是，假如激光束從 45°-45°-90° 三角形的此中一個(gè)銳角開頭，它永久不會(huì)前往到誰人角。

他的鋸齒形桌子由 29 個(gè)如此的三角形構(gòu)成，奇妙地使用了這一內(nèi)幕。2019 年，事先照舊特拉維夫大學(xué)的研討生阿米特·沃萊茨基使用了相反的武藝來天生一個(gè) 22 邊的外形(如下所示)。現(xiàn)在尚不清晰對(duì)否存在更少的邊數(shù)的外形。

證實(shí)另一個(gè)朝向的后果要困憂傷多。2014 年，斯坦福大學(xué)的數(shù)學(xué)家瑪麗亞姆·米爾扎哈尼成為第一位取得菲爾茲獎(jiǎng)(數(shù)學(xué)界最負(fù)盛名的獎(jiǎng)項(xiàng))的女性，由于她在黎曼曲面的模空間方面的事情，這是一種對(duì)馬蘇爾用來證實(shí)一切具有有理角的多邊形桌子都具有周期軌跡的甜甜圈的歸納。2016 年，巴黎-薩克雷大學(xué)的塞繆爾·勒利埃弗、法國國度封建研討中央的蒂埃里·蒙泰伊和特拉維夫大學(xué)的巴拉克·魏斯使用了米爾扎哈尼的很多后果，證實(shí)白有理多邊形中的任何一點(diǎn)都照亮了除僅限多個(gè)點(diǎn)之外的一切點(diǎn)。約莫存在伶仃的暗點(diǎn)(如托卡爾斯基和沃萊茨基的例子所示)，但不存在像彭羅斯例子中那樣具有彎曲壁而不是直壁的暗地區(qū)。在沃萊茨基 2019 年的文章中，他經(jīng)過證實(shí)只存在僅限對(duì)不成照亮的點(diǎn)對(duì)，加強(qiáng)了這一后果。

遺憾的是，米爾扎哈尼于 2017 年年僅 40 歲時(shí)因癌癥去世。她的事情仿佛與臺(tái)球室里的花式擊球相去甚遠(yuǎn)。但是，分析臺(tái)球軌跡標(biāo)明，即使是最籠統(tǒng)的數(shù)學(xué)也可以與我們生存的實(shí)際天下接洽起來。

本文譯自 Quanta Magazine，由 超載雞 編纂公布。